@BrokenBladeTu tá confundido as coisas, nesta própria página da wiki no tópico da relatividade está falando que o espaço-tempo não tem uma geometria euclidiana. Você tem que distinguir o que é dimensão de curvatura, para um geometria ser euclidiana o que importa não é necessariamente a dimensão mas sim a curvatura (mas estão intimamente ligados)
Um bola por exemplo tem 3 dimensões, mas a esfera (a superfície da bola) é bidimensional, tal qual o exemplo do cilindro que tu falou (tem 3 dimensões mas a superfície dele tem 2). Porém a superfície da esfera tem uma curvatura e a do cilindro não, isso porque matematicamente a noção de curvatura é bem diferente da que tu provavelmente está pensando intuitivamente, na superfície do cilindro por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo dão 180 graus (geometria euclidiana), já na esfera não (não euclidiana).
Para simplificar, basicamente existem "duas" noções diferentes de curvatura, uma é a curvatura intrínseca (pesquise sobre curvatura Gaussiana) e a outra é a curvatura extrínseca. A curvatura intrínseca é um característica meio que "natural" de um objeto, enquanto a extrínseca depende do espaço onde o objeto esta mergulhado (a intrínseca pode ser definida por um observador sobre a superfície, já a extrínseca não). Um folha plana tem por exemplo uma curvatura gaussiana (ou intrínseca) zero, quando você dobra a folha a ponto de juntar as extremidades dela e mergulha ela num espaço tridimensional, ela vira um cilindro, mas a curvatura intrínseca dela não muda.
Já a curvatura extrínseca é bem diferente, um ser bidimensional que habita na superfície de um cilindro não consegue entender que ela é extrínsecamente curvada, pois ele se curva numa dimensão maior. Para isso seria necessário que o habitante olhasse o cilindro do ponto de vista de "fora", que é impossível pois ele é apenas bidimensional, assim como a esfera, que mesmo sendo bidimensional se curva num espaço tridimensional (o mesmo vale para curvatura do espaço tempo).
Btw, o que tu tá chamando de espaço tempo euclidiano na verdade é um conceito chamado "espaço-tempo de Minkowski" que é basicamente uma forma de calcular distância na relatividade restrita, que não leva em conta ação da gravidade.
São duas coisas diferentes, na métrica de Minkowski o espaço tem 4 dimensões e na de Euclides tem 3, a única relação entre as duas é que em ambas o espaço é plano (se tu não conhece um pouco de álgebra é difícil de entender isso o que é o conceito de métrica e a diferença entre as duas). Já na relatividade geral a gravidade entra como uma curvatura, não é mais plano. Ai nem mesmo a métrica de Minkowski vale